Question

已知函数y=（n∈N^*，y≠1）的最小值为a_n，最大值为b_n，且c_n=4（a_nb_n-）．数列{c_n}的前n项和为S_n．
（1）请用判别式法求a₁和b₁；
（2）求数列{c_n}的通项公式c_n；
（3）若{d_n}为等差数列，且d_n=（c为非零常数），设f（n）=（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer

（1）先整理出关于y的一元二次方程，再利用判别式，可求求a1和b1；
（2）先整理出关于y的一元二次方程，再利用韦达定理便可求出anbn，代入cn的表达式中即可求出数列{cn}的通项公式；
（3）由（2）中cn的通项公式先求出Sn的表达式，然后根据题意求出dn的通项公式，再根据{dn}为等差数列的条件便可求出c的值，可得的dn 的通项公式代入求出f（n）的表达式，根据基本不等式，即可求得结论．
【解析】
（1）n=1时，y=，则（y-1）x2+x+y-1=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-1）≥0，即4y2-8y+3≤0
∴
∴a1=，b1=；
（2）由y=，可得（y-1）x2+x+y-n=0
∵x∈R，y≠1，
∴△=1-4（y-1）（y-n）≥0，即4y2-4（1+n）y+4n-1≤0
由题意知：an，bn是方程4y2-4（1+n）y+4n-1=0的两根，
∴an•bn=
∴cn=4（anbn-）=4n-3；
（3）∵cn=4n-3，∴Sn=2n2-n，∴dn==
∵{dn}为等差数列，∴2d2=d1+d3，
∴2c2+c=0，∴c=0（舍去）或c=-，∴dn==2n
∴f（n）===≤=
当且仅当n=，即n=6时，取等号，∴f（n）的最大值为．