Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若acosB-bcosA=c，则tan（A-B）的最大值为    ．

Answer

利用正弦定理，将已知等式化简整理得sinAcosB=4sinBcosA，两边同除以cosAcosB，得到tanA=4tanB．利用两角差的正切公式，得tan（A-B）==，最后利用基本不等式求最值，可得当且仅当tanB=时，tan（A-B）的最大值为．
【解析】
∵acosB-bcosA=c，
∴结合正弦定理，得sinAcosB-sinBcosA=sinC，
∵C=π-（A+B），得sinC=sin（A+B）
∴sinAcosB-sinBcosA=（sinAcosB+cosAsinB）
整理，得sinAcosB=4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA=4tanB
由此可得tan（A-B）===
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0
∵+4tanB≥2=4
∴tan（A-B）=≤，当且仅当=4tanB，即tanB=时，tan（A-B）的最大值为
故答案为：