Question

已知以a₁为首项的数列{a_n}满足：a_n+1=
（1）当a₁=1，c=1，d=3时，求数列{a_n}的通项公式
（2）当0＜a₁＜1，c=1，d=3时，试用a₁表示数列{a_n}的前100项的和S₁₀₀
（3）当0＜a₁＜（m是正整数），c=，d≥3m时，求证：数列a₂-，a_3m+2-，a_6m+2-，a_9m+2-成等比数列当且仅当d=3m．

Answer

（1）由题意得
（2）由题意知，，，所以S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a6）++（a98+a99+a100）==．
（3）由题设条件可知，当d=3m时，数列，，，
是公比为的等比数列；当d≥3m+1时，，，
故数列，不是等比数列．所以，数列，成等比数列当且仅当d=3m
【解析】
（1）由题意得
（2）当0＜a1＜1时，a2=a1+1，a3=a1+2，a4=a1+3，
，，，，，
∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）
=
=
=
（3）当d=3m时，，
∵，
∴；
∵
∴；
∵，
∴，
∴，，，
∴
综上所述，当d=3m时，数列，，，
是公比为的等比数列
当d≥3m+1时，，
，
，
，
由于，，
故数列，不是等比数列
所以，数列，
成等比数列当且仅当d=3m