Question

在下列四个结论中，正确的有（ ）
（1）x²＞4是x³＜-8的必要非充分条件；
（2）△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件；
（3）x+y≠3是x≠1或y≠2的充分非必要条件；
（4）sinx＞tanx是cotx＜0的充要条件．
A．（1）（2）（4）
B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4）
D．（1）（2）（3）（4）

Answer

（1）分别解出不等式x2＞4、x3＜-8，即可判断出是否正确；
（2）利用三角形的内角和定理、和差化积及诱导公式即可判断出结论；
（3）由命题“若x=1且x=2，则x+y=3”正确，其逆命题不正确，可知此命题的逆否命题正确，否命题不正确，即可判断出结论；
（4）由sinx＞tanx⇔tanx（cosx-1）＞0即可判断出结论．
【解析】
（1）由x3＜-8，得（x+2）（x2+2x+4）＜0，∵x2+2x+4=（x+1）2+3＞0，∴x+2＜0，∴x＜-2，∴-x＞2，∴x2＞4．
由x2＞4，得x＞2或x＜-2，当x＞2时，x3＞8．
故x2＞4是x3＜-8的必要非充分条件．
因此（1）正确．
（2）∵A+B=π-C，得=，
∴sinA＞sinB⇔sinA-sinB=2＞0⇔⇔A＞B．
故△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件；因此（2）正确．
（3）由x+y≠3⇒x≠1或y≠2；而x≠1或y≠2推不出x+y≠3，（如x=y=1.5⇒x+y=3）．故x+y≠3是x≠1或y≠2的充分不必要条件，即（3）正确；
（4）sinx＞tanx⇔tanx（cosx-1）＞0⇔tanx＜0⇔cotx＜0，故sinx＞tanx是cotx＜0的充要条件，即（4）正确．
综上可知：（1）（2）（3）（4）都正确．
故选D．