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已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(...

已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
根据f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点及a、b、c的大小关系,由此可得结论. 【解析】 求导函数可得f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) ∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0. ∴a<1<b<3<c 设f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x-abc ∵f(x)=x3-6x2+9x-abc ∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9 ∴b+c=6-a ∴bc=9-a(6-a)< ∴a2-4a<0 ∴0<a<4 ∴0<a<1<b<3<c ∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0 ∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0 故选C.
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考点分析:
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