Question

如图，正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直，M、N分别是DE、AB的中点．
（Ⅰ）证明：MN∥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角M-AB-E的正切值．

Answer

（Ⅰ）欲证MN∥平面BCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCE内一直线平行，根据三角形的中位线可知MP∥AD∥BC，满足定理条件；
（Ⅱ）先作二面角的平面角，作PO⊥AB于O点，连接OM，由平面ABCD⊥平面ABE，易得AD⊥平面ABE，再由线面垂直的性质定理得出∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角，然后分别求得，两直角边AD，MP的长度即可．
【解析】

（Ⅰ）证明：取AE的中点P，连接MP、NP．
由题意可得：MP∥AD∥BC，
又∵MP⊄平面BCE，BC⊂平面BCE
∴MP∥平面BCE，（3分）
同理可证NP∥平面BCE
∵MP∩NP=P
∴平面MNP∥平面BCE，又MN⊂平面MNP，
∴MN∥平面BCE（5分）
（其他做法请参照标准给分）
（Ⅱ）【解析】
作PO⊥AB于O点，连接OM．
∵平面ABCD⊥平面ABE，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABE．
又MP∥AD
∴MP⊥平面ABE（7分）
又∵PO⊥AB，
∴MO⊥AB．
∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角．（9分）
设AD=2易得：，∴．（12分）