Question

设集合函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域为A，集合B为函数（x＞-1）的值域，集合C为不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_RA，求a的取值范围．

Answer

（1）通过对数函数的定义域求出集合A，函数的值域求出集合B，然后求解A与B的交集．
（2）求出A的补集，利用C⊆∁RA，通过a的范围，讨论不等式的解集，求出a的范围即可．
【解析】
（1）∵-x2-2x+8＞0，
∴解得A=（-4，2）．
∵=，∵x＞-1，∴．
∴B=[1，+∞）；
所以A∩B=[1，2）；
（2）∵CRA=（-∞，-4]∪[2，+∞），C⊆CRA，
若a＜0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]∪[-，+∞），故定有-≥2得0＞a≥-．
若a＞0，则不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是∅，否则不满足题意．
若a=0，不等式（ax+1）（x+4）≤0的解集只能是（-∞，-4]，满足题意，所以a=0成立．
∴a的范围为0≥a≥-．