Question

已知函数，其中a＞0且a≠1．
（1）证明函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）当0＜a＜1时，判断函数y=f（x）的单调性，并加以证明；
（3）求函数y=f（2x）与y=f^-1（x）的图象的公共点的坐标．

Answer

（1）函数图象的左右位置由函数定义域决定，可求出其定义域说明；
（2）根据函数单调性的定义证明；
（3）方程f（2x）=f-1（x）的解即为公共点的横坐标，进而可求出其纵坐标．
（1）证明：令ax-1＞0，得ax＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．
所以当a＞1时，f（x）的定义域为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，0）．
故函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）【解析】
当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增．下面证明之：
当0＜a＜1时，f（x）的定义域为（-∞，0）．
设x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）=-
=，∵0＜a＜1，x1＜x2＜0，∴＞＞0，
∴＞1，又0＜a＜1，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故当0＜a＜1时，f（x）单调递增．
（3）f（2x）=，f-1（x）=，
令=，得a2x-1=ax+1，即a2x-ax-2=0，
∴ax=2或ax=-1（舍），
∴x=loga2，则f-1（loga2）=loga3．
故函数y=f（2x）与y=f-1（x）的图象的公共点的坐标为（loga2，loga3）．