Question

若函数f（x）=在上增函数，则实数a的取值范围是    ．

Answer

分a＜0和a≥0 两种情况进行讨论，当a＜0时，单调递增，则必有≥0在上恒成立；
当a≥0时，f（x）=，则有f′（x）=≥0在上恒成立，从而可求出a的取值范围．
【解析】
（1）当a＜0时，单调递增，
①若时，≤0，则f（x）=-（）单调递减，与函数f（x）=在上是增函数不符；
②若时，有零点x，，则-＜x＜x时，＜0，f（x）=-（）单调递减，也与题意不符，
故必有≥0在上恒成立，即a≥-e2x恒成立，
又时，-e2x≤-=-，∴-≤a＜0．
（2）当a≥0时，f（x）=，f′（x）=，
∵f（x）在上是增函数，∴f′（x）=≥0在上恒成立，
即a≤e2x，又e2x≥=，所以0＜a≤，综上，实数a的取值范围为[-]．
故答案为：[-]．