Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=7，a₉=-7．则下列四个命题中真命题是    ．（填写序号）
（1）S₅＜S₇        （2）S₆＞S₈      （3）S₄=S₅      （4）S₅+S₇=S₆+S₈．

Answer

根据等差数列的性质，由a5=7，a9=-7，可知{an}为递减数列且求得a7=0，从而可对（1）、（2）、（3）、（4）进行判断．
【解析】
∵{an}为等差数列，a5=7，a9=-7，设其公差为d，则d＜0，
∵a7是a5与a9的等差中项，
∴a7=0，
∴a1＞a2＞…＞a6＞a7=0＞a8＞a9＞…
∴（1）S5＜S6=S7，即（1）正确；
（2）S6=S7＞S8，即（2）正确；
又S4＜S5，故（3））S4=S5错误；
对于（4），∵a7=0，
∴S6=S7，①
由题意可知，等差数列{an}的前n项和为Sn是关于n的开口方向向下的二次函数，且其对称轴为n==，
又点（5，S5）与点（8，S8）关于直线n=对称，
∴S5=S8．②
由①②知，S5+S7=S6+S8，即（4）正确．
故答案为：（1）（2）（4）．