Question

已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b，
①af（b）≤bf（a）
②af（b）≥bf（a）
③af（a）≤bf（b）
④af（a）≥bf（b）
其中正确的是    ．

Answer

分别构建函数g（x）=xf（x），h（x）=，利用xf'（x）-f（x）≥0，确定它们的单调性，从而可得结论．
【解析】
构造函数g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，又f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b），即③正确，④错误；
构造函数h（x）=
∴h′（x）=
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴≤
∴af（b）≥bf（a），故②正确，①错误
故答案为：②③