Question

已知函数（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
（3）若，求的值．

Answer

（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+）+1，由周期求得ω的值，即可确定f（x）的解析式为 2sin（x+）+1，列表作出它的图象．
（2）由f（x）的解析式，将x=A代入表示出f（A），由正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简后，得到cosB的值，求得B的值，进而
得到A+C的值，得出A的取值范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（A）的取值范围．
（3）由 f（0=2，求得sin（+）=，再利用二倍角公式、诱导公式求得 cos（-x）=2-1 的值．
【解析】
（1）函数=sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+）+1，
∵函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴•=π，解得ω=，∴f（x）=2sin（x+）+1．
列表
 x+ - -  0    π  
 x -π - -      π
 f（x）  0 -1  1  3  1  0

如图所示：

（2）将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=． 又B为三角形的内角，∴B=．
∴A+C=，0＜A＜，＜A+＜，＜sin（A+）≤1，故函数f（A）=2sin（A+）+1 的取值范围为（2，3]．
（3）∵f（）=2sin（+）+1=2，∴sin（+）=，
∴cos（-x）=2-1=2-1=2×-1=-．