Question

已知函数f（x）=[ax²-（3+2a）x+a]•e^x+1，a≠0．
（1）若x=-1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）若不等式f′（x）＞（x²+x-a）•e^x+1对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．
（3）记函数g（x）=f（x）+（2a+6）•e^x+1，若g（x）在区间[2，4]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先求导函数，利用x=-1是函数f（x）的极大值点，可得，从而求出参数的范围；（2）问题等价于（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，从而解不等式可得；（3）g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0，从而可解．
【解析】
（1）
，
若x=-1是函数f（x）的极大值点，∴，
解得，或a＞0（6分）
（2）f′（x）＞（x2+x-a）•ex+1⇔（x2+1）a-x2-4x-3＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，
∴-x2-4x-3≥0⇒-3≤x≤-1（10分）
（3）g（x）=f（x）+（2a+6）•ex+1=[ax2-（3+2a）x+3a+6]•ex+1
g′（x）=（ax2-3x+a+3）•ex+1
g（x）在区间[2，4]上不单调⇔ax2-3x+a+3=0在x∈（2，4）上有解且△≠0
变量分离得，，
求得t（x）的值域为
∴（15分）