Question

已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，以AB弦为直径的圆过坐标原点O，试探讨点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；
（2）分类讨论，再设直线方程代入题意方程，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，即可求得结论．
【解析】
（1）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，…．（2分）
∴所求椭圆方程为．…..（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，
设A（m，m）代人椭圆方程得：…．（6分）
②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立，
整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．…．（8分）
又==．
由以|AB|为直径的圆过原点，则有．…..（10分）
即：x1x2+y1y2=0，故满足：得：4m2=3+3k2，所以m2=．
又点O到直线AB的距离为：．
综上所述：点O到直线AB的距离为定值．…（13分）