Question

已知等差数列{a_n}是递增数列，且满足a₄•a₇=27，a₂+a₉=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求a₅₁+a₅₂+…+a₁₀₀的值．

Answer

（1）由题意和等差数列的性质可得a4，a7是方程x2-12x+27=0的两根，且a4＜a7，解之可得公差d，易得通项公式；（2）由（1）知：an=2n-5，故a1=-3，可得前n项和为：Sn==n2-4n，而a51+a52+…+a100=S100-S50，代入可求．
【解析】
（1）由题意和等差数列的性质可得a4+a7=a2+a9=12，又a4•a7=27，
∴a4，a7是方程x2-12x+27=0的两根，且a4＜a7，
解得a4=3，a7=9，设数列{an}的公差为d，则3d=a7-a4=6，所以d=2，
故数列{an}的通项公式为：an=a4+（n-4）d=2n-5
（2）由（1）知：an=2n-5，故a1=-3，所以数列{an}的前n项和为：
Sn==n2-4n，
∴a51+a52+…+a100=S100-S50=1002-400-502+200=7300