Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n+n．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）若数列{b_n}满足，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn=2an+n，可知当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1，两式相减整理即可证明
（2）由（1）可求an，代入可求bn，利用错位相减求和即可
（1）证明：∵Sn=2an+n．
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1．
两式相减可得，sn-sn-1=2an-2an-1+1
即an=2an-2an-1+1
∴an-1=2（an-1-1）
∵n=1时，S1=2a1+1
∴a1=-1，a1-1=-2
∴数列{an-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列；
（2）【解析】
由（1）可得=-2n
∴
∵
∴
∴Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n
2Tn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=
=2n+1-2-n•2n+1
∴Tn=（n-1）•2n+1+2