Question

定义域为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer

（1）求函数f（x）的解析式，即求x∈（-1，0）及x=±1时的表达式，由f（x）的奇偶性及f（x）=f（x-2）即可求得；
（2）因为f（x）为奇函数，所以只需先求出区间（0，1）上的值域即可，注意要对a分情况讨论．
【解析】
（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（-x）==，
因为f（x）为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），∴f（x）=-，
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）∴f（1）=f（-1）=0．
故f（x）=．
（2）①当a＞1时，因为当x∈（0，1）时，ax∈（1，a），设t=ax，y=t+（t∈（1，a）），则y′=1-＞0，
∴y=t+=∈（2，），∴∈（，）．
②当0＜a＜1时，因为当x∈（0，1）时，ax∈（a，1），设t=ax，y=t+（t∈（a，1）），则y′=1-＜0，
∴y=t+=∈（2，），∴∈（，）．
综合①②，又函数f（x）为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，且f（-1）=f（1）=0，
所以函数f（x）的值域为（-，-）∪{0}∪（，）．