Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c
（Ⅰ）若函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函数f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在区间[0，1]上为单调减函数，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，求得b的值，利用f（-1）=0，求得c的值，可得函数解析式，再确定函数f（x）在区间[0，3]上的单调性，即可求得f（x）在区间[0，3]上的最小值；
（Ⅱ）f（x）是减函数等价于≤0，即恒成立，求出右边函数的最小值，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）求导函数，可得
∵函数f（x）在点x=1处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，
∴f′（1）=，∴，∴b=4
又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，∴c=5  
∴f（x）=ln（x+2）-x2+4x-5，∴
由=0得x=
∴当x∈[0，]时，f′（x）≥0，f（x）单调递增
当x∈[，3]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减
又f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，所以f（x）在[0，3]最小值为ln2+5；
（Ⅱ）因为f（x）是减函数，所以≤0，即恒成立
令t=，则t′=2+，
∴t=，在[0，1]上单调递增
∴tmin=-
所以当b≤-时，f（x）在区间[0，1]上单调递减．