Question

在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．

Answer

解法一（空间向量法）（1）建立空间坐标系，设F是线段CE的中点，求出直线BF的方向向量和平面ACD的法向量，根据两个向量垂直可得线面平行；
（2）分别求出平面BCD与平面ACD的法向量，代入向量夹角公式，求出两个向量夹角的余弦值，进而可得二面角的大小
（3）求出BG的方向向量的坐标，进而根据d=，可得点G到平面BCE的距离
解法二（几何法）（1）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定和性质，可得BF∥AH，进而由线面平行的判定定理得到BF∥平面ACD
（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，分别求出两个三角形的面积，代入cosθ=，可得二面角的大小
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C-BGE，进而利用等积法，可求出点G到平面BCE的距离．
【解析】
解法一（空间向量法）：
以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得x轴和z轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为D（0，0，0），B（2，0，1），E（0，0，2），C（1，，0），
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：
设F是线段CE的中点，则点F的坐标为（，，1），
∴=（，，0）
又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
且•=0
∴BF∥平面ACD；       …（4分）
（2）设平面BCE的法向量为=（x，y，z），
则⊥，且⊥，
由=（1，，1），=（-1，，2）得，

不妨设y=，则=（1，，2）
又∵=（0，0，2）为平面ACD的一个法向量
∴所求角θ满足cosθ==，
∴平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为；       …（8分）
（3）由已知G点坐标为（1，0，0），
∴=（-1，0，-1），
由（2）平面BCE的法向量为=（1，，2）
∴所求距离d==．                        …（12分）
解法二：（几何法）
（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
∴AB∥ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则FH∥ED且FH=ED，
∴FH∥AB且FH=AB，…（2分）
∴四边形ABFH是平行四边形，
∴BF∥AH，
由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，
∴BF∥平面ACD；…（4分）
（2）由已知条件可知△ACD即为△BCE在平面ACD上的射影，
设所求的二面角的大小为θ，则cosθ=，…（6分）
易求得BC=BE=，CE=2，
∴S△BCE=，
而S△ACD=，
∴cosθ==，
∴θ=；          …（8分）
（3）连接BG、CG、EG，得三棱锥C-BGE，
由ED⊥平面ACD，
∴平面ABED⊥平面ACD，
又CG⊥AD，
∴CG⊥平面ABED，
设G点到平面BCE的距离为h，
则VC-BGE=VG-BCE=S△BCE•GC=S△BCE•h，
由S△BCE=，S△BGE=，CG=，
∴h=即为点G到平面BCE的距离．…（12分）