Question

已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

Answer

（1）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤，等价于对∀x∈（0，+∞），都有f（x）max≤，由此可求k的取值范围．
【解析】
（1）f′（x）=，
令f′（x）=0得x=±k…．（3分）
当k＞0时，f（x）在（-∞，-k）和（k，+∞）上递增，在（-k，k）上递减；
当k＜0时，f（x）在（-∞，k）和（-k，+∞）上递减，在（k，-k）上递增…（8分）
（2）当k＞0时，f（k+1）=＞，所以不可能对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤；
当k＜0时，由（1）知f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（-k）=，所以对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤
即，∴，
故对∀x∈（0，+∞），都有f（x）≤时，k的取值范围为[-，0）．…．（14分）