Question

已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足，f（-x）=f（x），f（-2）=-3，数列{a_n} 满足a₁=-1，且S_n=2a_n+n，（其中S_n为{a_n} 的前n项和）．则f（a₅）+f（a₆）=（ ）
A．3
B．-2
C．-3
D．2

Answer

先确定f（x）是以3为周期的周期函数，再由a1=-1，且Sn=2an+n，推知a5=-31，a6=-63，由此即可求得结论．
【解析】
∵函数f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∵f（-x）=f（x），∴f（-x）=-f（-x）
∴f（3+x）=f（x），∴f（x）是以3为周期的周期函数．
∵a1=-1，且Sn=2an+n，
∴a2=-3，∴a3=-7，a4=-15，∴a5=-31，a6=-63
∴f（a5）+f（a6）=f（-31）+f（-63）=f（2）+f（0）=f（2）=-f（-2）=3
故选A．