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设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数. ...

设函数f(x)=ax-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围;
(3)若f(1)=manfen5.com 满分网,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
(1)根据奇函数的性质可得f(0)=0,由此求得k值. (2)由f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1),f(1)<0,求得1>a>0,f(x)在R上单调递减,不等式化为f(x2+tx)<f(x-4),即 x2+(t-1)x+4>0 恒成立,由<0求得t的取值范围. (3)由f(1)=求得a的值,可得 g(x)的解析式,令t=f(x)=2x-2-x,可知f(x)=2x-2-x为增函数,t≥f(1),令h(t)=t2-2mt+2,(t≥),分类讨论求出h(t)的最小值,再由最小值等于2,求得m的值. 【解析】 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,…(2分) ∴1-(k-1)=0,∴k=2.…(4分) (2)∵函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1), ∵f(1)<0,∴a-<0,又 a>0, ∴1>a>0.…(6分) 由于y=ax单调递减,y=a-x单调递增,故f(x)在R上单调递减. 不等式化为f(x2+tx)<f(x-4). ∴x2+tx>x-4,即  x2+(t-1)x+4>0 恒成立,…(8分) ∴△=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5.…(10分) (3)∵f(1)=,a-=,即2a2-3a-2=0,∴a=2,或 a=-(舍去).…(12分) ∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. 令t=f(x)=2x-2-x,由(1)可知k=2,故f(x)=2x-2-x ,显然是增函数. ∵x≥1,∴t≥f(1)=, 令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥)…(15分) 若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2…(16分) 若m<,当t=时,h(t)min=-3m=-2,解得m=>,舍去…(17分) 综上可知m=2.…(18分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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