Question

已知数列{a_n}、{b_n}，a_n＞0，a₁=6，点在抛物线y²=x+1上；点B_n（n，b_n）在直线y=2x+1上．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若，问是否存在k∈N*，使f（k+15）=2f（k）成立，若存在，求出k值；若不存在，说明理由；
（3）对任意正整数n，不等式成立，求正实数a的取值范围．

Answer

（1）由点在抛物线y2=x+1上，知an+1=an+1，由此能求出an=n+5．由点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．能求出bn=2n+1．
（2）由，知当k为奇数时，k+15为偶数，故2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），由此能求出k．
（3）由，得：，记g（n）=，由此能求出正实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵点在抛物线y2=x+1上，
∴an+1=an+1，
∵an＞0，a1=6，
∴{an}是首项a1=6，公差d=an+1-an=1的等差数列，
∴an=n+5．
∵点Bn（n，bn）在直线y=2x+1上．
∴bn=2n+1…（4分）
（2），
当k为奇数时，k+15为偶数，
∴2（k+15）+1=2（k+5），显然不成立．
当k为偶数时，k+15为奇数，则有k+20=2（2k+1），解得k=6．…（8分）
（3）由，
得：，
记g（n）=，
则
∴g（n+1）＞g（n），即g（n）递增．
∴，
即．…（13分）