Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点Q（4，m）到其焦点的距离为5
（1）求p与m的值；；
（2）斜率为1的直线不过点P（2，2），且与抛物线交于点A，B，直线AP，BP分别交抛物线于点C，D，求证：直线AD，BC交于一个定点．

Answer

（1）利用抛物线的定义，结合Q（4，m）到其焦点的距离为5，可求p与m的值；；
（2）先求直线的斜率，求得直线方程，即可求得直线AD，BC交点．
（1）【解析】
由抛物线方程得其准线方程：，
根据抛物线定义点Q（4，m）到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得p=2
所以抛物线方程为：y2=4x，将Q（4，m）代入抛物线方程，解得m=±4．…（6分）
（2）证明：设点A，B，C，D的坐标分别为，，，，
则直线AB的斜率，于是得y1+y2=4．
同理知直线AC，BD，AD，BC的斜率分别为，，，，
由A，P，C三点共线得，即y1y3-2（y1+y3）+8=0，
以4-y2代y1得y2y3-2（y2+y3）=0，①
同理由B，D，P共线得y1y4-2（y1+y4）=0②
设AD，BC交点为M（m，n），
由A，D，M共线知，即y1y4-n（y1+y4）+4m=0③
同理由B，C，M共线得y2y3-n（y2+y3）+4m=0④
将①②代入③④得（2-n）（y1+y4）+4m=0，（2-n）（y2+y3）+4m=0
∵y1+y4≠y2+y3，∴m=0，n=2
即直线AD，BC交于一个定点M（0，2）…（15分）