Question

设等比数列{a_n}满足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意两项之积也是该数列中的一项，若a₁=2⁸¹，则q的所有可能取值的集合为    ．

Answer

依题意可求得该等比数列的通项公式an，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，求得q=，分析即可．
【解析】
由题意，an=281qn-1，设该数列中的任意两项为am，at，它们的积为ap，
则为am•at=ap，即281qm-1•281qt-1=281•qp-1，（q，m，t，p∈N*），
∴q=，
故p-m-t+1必是81的正约数，
即p-m-t+1的可能取值为1，3，9，27，81，
即的可能取值为1，3，9，27，81，
所以q的所有可能取值的集合为{281，227，29，23，2}