Question

【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆+=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为（1，-5），点M的极坐标为（4，），若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径．
（1）求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程；
（2）试判定直线l和圆C的位置关系．

Answer

21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
（1）由M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换，可得矩阵M，进而根据矩阵特征值和特征向量的定义得到矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）根据（1）中M求出M-1，结合椭圆方程+=1，可得在M-1的作用下的新曲线的方程．
21-2．（选修4-4：参数方程）
（1）根据P点坐标及直线l的倾斜角，可求出直线l的参数方程，根据点M的极坐标及圆C以M为圆心、4为半径可求出圆C的极坐标方程；
（2）求出直线l和圆C的普通方程，代入点到直线距离公式，求出圆心M到直线l的距离，与圆的半径进行比较后，可判断直线与圆的位置关系．
【解析】
21-1．（选修4-2：矩阵与变换）
（1）∵M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换
∴矩阵M=，
∴它的特征值为2和3，
∴对应的特征向量为及；
（2）M-1=，
椭圆+=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1．
【解析】
21-2．（选修4-4：参数方程）
（1）∵P的直角坐标为（1，-5），
直线l过点P，且倾斜角为 ，
直线l的参数方程为，
又∵圆C以M为圆心、4为半径
圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ．
（2）因为M（4，）对应的直角坐标为（0，4），
直线l的普通方程为x-y-5-=0，
∴圆心到直线l的距离d==＞5，
所以直线l与圆C相离．