Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）试在棱CC₁上求一点，使得平面A₁B₁P⊥平面C₁DE．

Answer

（1）连CD1交C1D于O点，连OE，根据OE是三角形CBD1的中位线，可得OE∥BD1，所以，BD1∥平面C1DE．
（2）过B1点作C1E的垂线，并延长交CC1于P点，可证P是CC1的中点，再由A1B1⊥C1E 可得，C1E⊥平面A1B1P，
故有平面A1B1P⊥平面C1DE．
【解析】
（1）证明：连CD1交C1D于O点，连OE，
因为O是CD1的中点，所以，OE∥BD1，所以，BD1∥平面C1DE．
（2）过B1点作C1E的垂线，并延长，交CC1于P点．
在正方形BCC1B1中，易证Rt△B1C1P≌Rt△C1CE，得P是CC1的中点．
因为A1B1⊥平面B1C，C1E⊂平面B1C，所以A1B1⊥C1E，
又因为C1E⊥B1P，所以，C1E⊥平面A1B1P，
所以平面A1B1P⊥平面C1DE，故取CC1的中点P，就有平面A1B1P⊥平面C1DE．