Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据一元二次函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．
（2）由于要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．
（3）根据函数零点与方程的关系可得f（x）在x∈[1，3]上有零点即f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解也即2a=在x∈[1，3]上有实数解则问题转化为求函数g（x）=x的值域．
【解析】
（1）∵函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数
∴a≥2
∴函数f（x）=x2-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]max=f（1）=f（a），[f（x）]min=f（a）
∵对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤[f（x）]max-[f（x）]min
∴要使对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4则必有[f（x）]max-[f（x）]min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a2-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=在x∈[1，3]上有实数解
令g（x）=x则g（x）在[1，]单调递减，在（，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=
∴2≤g（x）≤6
∴2≤2a≤6
∴≤a≤3