Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，
（1）求此圆柱的侧面积表达式；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer

（1）由题意，圆柱的高已知为x，故求出圆柱底面的半径r关于x的表达式，再由公式求出侧面积的表达式，由图知，求底面半径可利用过轴的截面建立比例关系，从中解出底面半径表达式；
（2）由（1），此是一个关于圆柱高的二次函数，由二次函数的知识判断出函数的最值，即可得到圆柱侧面积的最大值，同时求出此时的x的值
【解析】
（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：
因为，所以，
从而．
（2）由（1）
因为，
所以当时，S侧最大，
从而当，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．