Question

已知f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，当x∈R时f（x）≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f（x）的最小值？

Answer

由f（-1）=-2，得出a与b的关系，f（x）≥2x恒成立，即x2+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，由判别式小于
或等于0解出a与b的值，进而得到f（x）解析式，由解析式求f（x）的最小值．
【解析】
由f（-1）=-2，得：f（-1）=1-（lga+2）+lgb=-2，解之得：lga-lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f（x）≥2x恒成立．知：x2+（lga+2）x+lgb≥2x，即x2+xlga+lgb≥0，对x∈R恒成立，
由△=lg2a-4lgb≤0，故得（1+lgb）2-4lgb≤0
即（lgb-1）2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f（x）=x2+4x+1=（2+x）2-3
当x=-2时，f（x）min=-3．