Question

若函数y=为奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域；
（3）讨论函数的单调性．

Answer

（1）根据函数y=f（x）=为奇函数，可得f（-x）+f（x）=0，由此可得，从而可求a的值；
（2）f（x）=，令2x-1≠0，即可得到函数的定义域；
（3）f（x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数，再利用单调性的定义进行证明．
【解析】
（1）∵函数y=f（x）=为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0
∴=0
∴
∴a=-
（2）f（x）=，∴2x-1≠0，∴2x≠1，∴x≠0
∴函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
（3）f（x）=在（-∞，0）和（0，+∞）上为增函数
证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则2x1＜2x2，2x1-1＞0，2x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）=（）-（）=＜0，
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取x1，x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则-x1＞-x2＞0，
因为f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以f（-x1）＞f（-x2），
因为f（x）是奇函数，所以f（-x1）=-f（x1），f（-x2）=-f（x2），
∴-f（x1）＞-f（x2），∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数．