Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和一个 最低点之间的距离为．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若，求的值．

Answer

（1）设最高点为（x1，1），相邻的最低点为（x2，-1），则 ．由周期求出ω，由f（x）是偶函数求得φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）由条件利用诱导公式求得sin（α-）的值，再由求得cos（α-）的值，再利用二倍角公式求得的值．
【解析】
（1）设最高点为（x1，1），相邻的最低点为（x2，-1），则．
由其图象得，∴T=2π．
由，得，∴f（x）=sin（x+φ）．
∵f（x）是偶函数，∴sin（-x+φ）=sin（x+φ），得2sinxcoxφ=0，∴cosφ=0，φ=kπ+，k∈Z．
∴φ=kπ+，k∈Z，又0＜φ＜π，∴φ=，
∴f（x）=sin（x+）=cosx．
（2）∵cos（α+）=，∴cos（α+）=cos（α-）=，∴sin（α-）=．
∵＜α＜0，，∴cos（α-）=
∴= cos ==．