Question

已知函数f（x）=x²+bsinx-2（b∈R），F（x）=f（x）+2，且对于任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）函数有几个零点？

Answer

（1）先表示出F（x）的表达式，再根据对任意实数x，恒有F（x-5）=F（5-x）得到F（x）-F（-x）=0，我们可以求出b的值，进而可确定函数f（x）的解析式；
（2）利用导数法，求出h（x）=ln（1+x2）-f（x）的极值，将k与极值进行比较，即可得到结论
【解析】
（1）由题设得F（x）=x2+bsinx，…（1分）
∵F（x-5）=F（5-x），
∴F（-x）=F（x），…（2分）
所以x2-bsinx=x2+bsinx
所以bsinx=0对于任意实数x恒成立．
∴b=0．…（3分）
故f（x）=x2-2．…（4分）
（2）令，
则．…（6分）
令y′=0，则x=-1，0，1，
当x变化时，y′，y的变化列表如下．

x （-∞，-1） -1 （-1，0） （0，1） 1 （1，+∞）
y′ + - + -
y 递增 极大值 递减 极小值1 递增 极大值 递减

…（9分）
∴k＞时，无零点；
k＜1或k=时，有两个零点；
k=1时有三个零点；
时，有四个零点．…（12分）