Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n＞0，S_n是数列{a_n}的前n项和，对任意n∈N₊，有2S_n=p（2a+a_n-1）（p为常数）．
（1）求p和a₂，a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）可以令n=1，根据a1=s1=1，求出p值，再令n=2和n=3代入通项sn，求出a2，a3的值；
（2）根据通项公式，往下推一下可得2Sn-1=p（2a+an-1-1）（n≥2），两式相减，可得an是一个等差数列，根据等差数列的性质进行求解；
【解析】
（1）令n=1得2S=p（2+a1-1）
又a1=s1=1，得p=1；
令n=2得2S2=p（2+a2-1），又s2=1+a2，
得2-a2-6=0，a2=或a2=-1（舍去）
∴a2=，
令n=3，得2S3=2+a3-1，s3=+a3，得，
2-a3-6=0，a3=2，或a3=-（舍去），
∴a3=2；
（2）由2Sn=p（2a+an-1），
2Sn-1=p（2a+an-1-1）（n≥2），
两式子相减，得2an=2（）+an-an-1，
即（an+an-1）（2an-2an-1-1）=0，
因为an＞0，所以2an-2an-1-1=0，
即an-an-1=（n≥2），
故{an}是首项为1，公差为的等差数列，
得an=（n+1）；