Question

如图1，某学校田径场上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为α，在B点处测得P点的仰角为β．
（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗杆的高度h；
（2）经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到线段AO上（如图2），α与β之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后AB的距离为d，tanβ=，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？

Answer

（1）利用余弦定理，可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗杆的高度h；
（2）计算tan（β-α），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可得到结论．
【解析】
（1）在Rt△POA中，OA=h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d2=（h）2+h2-2•h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗杆的高度为20
（2）∵tanα=，tanβ=
∴tan（β-α）===≤==
当且仅当d（h+4）=即d=时“=”成立
故当d=时，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜，∴0＜β-α＜，
∴当d=时，β-α最大