Question

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值．

Answer

（1）根据奇函数的性质f（-x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；
（2）根据题意对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤c，将问题转化为）|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；
【解析】
（1）∵奇函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（-x）=-f（x），解得b=0，
可得f′（x）=3ax2+c
由题意得解得，，
∴f（x）=-x3+3x；
（2）|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，
根据（1）可得f（x）=-x3+3x；
求导得f′（x）=-3x2+3=-3（x2-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，
当f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）为增函数，
当f′（x）＜0时即x＞1或x＜-1，f（x）为减函数，
f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=-1处取得极小值f（-1）=-，2；
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）max=2，f（x）min=-2，
要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤c，
∴|f（x1）-f（x2）|≤|f（x）max-f（x）min|=4，
故c的最小值为4；