Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，三棱锥B₁-ABC为正四面体，则直线AD₁与平面ACC₁A₁所成角的正弦值为    ．

Answer

根据平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥B1-ABC为正四面体，可得该几何体各棱及每个面的较短的对角线均相等，进而由正四面体的几何特征还可得到四棱锥B1-ACC1A1和四棱锥D-ACC1A1均为正四棱锥，连接B1D交平面ACC1A1于O，延长A1A至E，使A1A=AE，连接AD1，DE，可得∠OED即为直线AD1与平面ACC1A1所成角，解△OED可得答案．
【解析】
∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥B1-ABC为正四面体，
故B1C=B1A=B1A1=B1C1，即四棱锥B1-ACC1A1为正四棱锥，
同理，四棱锥D-ACC1A1也为正四棱锥，
连接B1D交平面ACC1A1于O，则O即为D在平面ACC1A1上的射影
延长A1A至E，使A1A=AE，连接AD1，DE，
则DE∥AD1，
则∠OED即为直线AD1与平面ACC1A1所成角
设平行六面体ABCD-A1B1C1D1各棱长均为a
在Rt△OED中，OD为棱长均为a的正四棱锥的高，故OD==，
OE==，
DE==
∴sin∠OED===
故答案为：