Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB=BC=CE=2CD=2，∠BCE=120°．
（I）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（II）求二面角A-EB-D的大小的余弦值．

Answer

（Ⅰ） 取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，DF，则2OFBA，由AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，知2CD BA，由此能够证明平面ADE⊥平面ABE．
（Ⅱ）取BE的中点O，连OC．以O为原点建立如图空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能够求出二面角A-EB-D的余弦值．
（Ⅰ） 证明：取BE的中点O，AE的中点F，连OC，OF，DF，则2OFBA
∵AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，∴2CD BA，
∴OFCD，∴OC∥FD，
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE，从而OC⊥AB．
∴OC⊥平面ABE，∴FD⊥平面ABE．
从而平面ADE⊥平面ABE．…（6分）
（Ⅱ）取BE的中点O，连OC．
∵BC=CE，∴OC⊥BE，又AB⊥平面BCE，∴OF⊥平面BCE．
故可以O为原点建立如图空间直角坐标系O-xyz，
由已知条件有：B（0，，0），，D（1，0，1），
设平面BDE的法向量为，
则由=
及=2y2=0，
取，
∵平面ABE的法向量可取为，
∴二面角A-EB-D的余弦值为cos＜＞==，
∴二面角A-EB-D的余弦值为．…（12分）