Question

设定义域为R的函数（a，b为实数）若f（x）是奇函数．
（1）求a与b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）证明对任何实数x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer

（1）利用奇函数的定义，建立等式，即可求a与b的值；
（2）确定函数解析式，利用导数法，可得函数的单调性；
（3）确定左、又函数的最值，即可证得结论．
（1）【解析】
∵f（x）是奇函数时，
∴f（-x）=-f（x），即对任意实数x成立．
化简整理得（2a-b）•22x+（2ab-4）•2x+（2a-b）=0，这是关于x的恒等式，所以
所以（舍）或
（2）【解析】
f（x）在R上单调递减，证明如下：
由（1）知
∴＜0，
∴f（x）在R上单调递减；
（3）证明：，
因为2x＞0，所以2x+1＞1，，从而；
而对任何实数c成立；
所以对任何实数x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．