Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
（1）求证：AD∥面D₁BC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求三棱锥D₁-ABC的体积．

Answer

（1）由长方体的几何特征可得AD∥BC，进而由线面平行的判定定理可得AD∥面D1BC；
（2）根据正方形的对角线互相垂直及长方体的几何特征结合线面垂直的定义，可得AC⊥BD，AC⊥BD1，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD1，进而由线面垂直的定义得到AC⊥BD1；
（3）由已知中长方体的长宽高，结合（2）中DD1⊥底面ABCD，即DD1为棱锥的高，代入棱锥体积公式，可求三棱锥D1-ABC的体积．
证明：（1）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC
又∵AD⊄D1BC，BC⊂D1BC
∴AD∥面D1BC；
（2）连接BD交AC于O，
由长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC
可得底面ABCD为正方形
故AC⊥BD
又∵DD1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD
∴DD1⊥AC
又∵BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1，
∴AC⊥平面BDD1，
又∵BD1⊂平面BDD1，
∴AC⊥BD1；
（3）∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，
∴S△ABC=×1×1=
由（2）中DD1⊥底面ABCD，
∴三棱锥D1-ABC的体积V=×S△ABC×DD1=