Question

已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x²+y²=4相交于A、B两点，|AB|=2，求抛物线方程．

Answer

设抛物线方程y2=ax（a≠0），利用抛物线与圆x2+y2=4都关于x轴对称，求出A，B的坐标，利用|AB|=2，即可求抛物线方程．
【解析】
由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上．
故可设抛物线方程为：y2=ax（a≠0）．                                （2分）
设抛物线与圆x2+y2=4的交点A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵抛物线y2=ax（a≠0）与圆x2+y2=4都关于x轴对称，
∴点A与B关于x轴对称，
∴|y1|=|y2|且|y1|+|y2|=2，（6分）
∴|y1|=|y2|=，代入圆x2+y2=4得x2+3=4，
∴x=±1，（8分）
∴A（±1，）或A（±1，-），代入抛物线方程，得：（）2=±a，∴a=±3．（10分）
∴所求抛物线方程是：y2=3x或y2=-3x．（12分）
注：少一种情况扣（4分）．也可分类讨论．