Question

过双曲线的右焦点F₂，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F₁为左焦点．
（1）求|AB|；
（2）求△AOB的面积；
（3）求证：|AF₂|+|BF₂|=|AF₁|+|BF₁|．

Answer

（1）根据双曲线的标准方程，确定焦点坐标，进而可得直线AB的方程，与双曲线联立，利用韦达定理，可计算|AB|；
（2）求出原点O到直线AB的距离，即可求得△AOB的面积；
（3）利用双曲线的定义，即可证得结论．
（1）【解析】
由双曲线的方程得a=，b=，
∴c==3，F1（-3，0），F2（3，0）．
∴直线AB的方程为y=（x-3）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+6x-27=0．
∴x1+x2=-，x1x2=-．
∴|AB|=|x1-x2|=•=
（2）【解析】
直线AB的方程变形为x-3y-3=0．
∴原点O到直线AB的距离为d==．
∴S△AOB=|AB|•d=××=．…（8分）
（3）证明：如图，由双曲线的定义得
|AF2|-|AF1|=2，|BF1|-|BF2|=2，
∴|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|…（12分）