Question

已知函数f（x）=x²+ln（x-a）（a∈R）．
（1）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；
（2）当a≤-2时，g（a）表示函数f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表达式；
（3）求证：．

Answer

（1）f（x）有两个不同的极值点⇔f′（x）=0在定义域内有不同的两个实数根．
（2）当a≤-2时，由（1）可知a＜x1＜-1＜x2＜0．及f（x）在[-1，x2]与[x2，0]上的单调性可得：f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一个．
（3）利用（2）的结论可得：=．把n依次取n，n-1，…1得到n个不等式，再相加即可得到．或利用上下归纳法也可证明．
【解析】
（1）法一：∵f（x）=x2+ln（x-a）（a∈R），∴x＞a，
∴=（x＞a）．
令g（x）=2x2-2ax+1，△=4a2-8=4（a2-2）．
当△＞0时，得或a．
若a，则f′（x）＞0在x＞a时恒成立，此时函数f（x）无极值点；
若，设g（x）=2x2-2ax+1=0的两根为x1，x2，且x1＜x2．
∵，∴a＜x1＜x2，若下表：
∴当时，函数f（x）由两个极值点．
法二：=（x＞a）．
设g（x）=2x2-2ax+1，f（x）由两个极值点⇔g（x）=0由两个大于a的不等实数根x1，x2（x1＜x2）．
∴，解得，∴当时，函数f（x）由两个极值点．
（2）当a≤-2时，由（1）知，∴a＜x1＜-1＜x2＜0．
∴f（x）在[-1，x2]上为减函数，而在[x2，0]上为增函数，
∴f（x）在[-1，0]上的最大值是f（-1）和f（0）中的最大的那一个．
∵f（-1）=1+ln（-1-a），f（0）=ln（-a）．
设h（a）=f（-1）-f（0）==．
∵a≤-2，∴，∴，故h（a）＞0．
∴最大值为f（-1）．
即g（a）=f（-1）=1+ln（-1-a）（a≤-2）．
（3）由（2）可知：当a=-2时，f（x）=x2+ln（x+2）有最大值f（-1）=1+ln（-1+2）=1．
取，n∈N+．则．
即=．
法一：由=，
把n依次取n，n-1，…1得到n个不等式，再相加得：
ln（n+1）
≤=．
∴．
即．
法二：用数学归纳法证明：
①当n=1时，易知成立．
假设n=k时，不等式成立，即，（k∈N+）成立．
当n=k+1时，
=
=
＜
＜0（由归纳假设及．
所以当n=k+1时不等式也成立．
故得证．