Question

定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），
（1）求f（0）的值；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）利用赋值思想即可得到结论；
（2）由于当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），利用互为倒数可知，结论成立；
（3）利用单调性的定义，作差，然后判定与零的大小关系得到，注意结合题中的关系式的变换得到．
（1）【解析】
因为对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），所以令a=b=0，则有f（0）=f（0）•f（0），又f（0）≠0，所以f（0）=1．
（2）证明：当x＞0时，f（x）＞1，当x=0时，f（0）=1，所以只需证明当x＜0时，f（x）＞0即可．
当x＜0时，-x＞0，f（0）=f（x）•f（-x），因为f（-x）＞1，所以0＜f（x）＜1，
故对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）是增函数，证明如下
设x1＜x2，则x2-x1＞0，
f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）=[f（x2-x1）-1]f（x1），
由题意知f（x2-x1）＞1，f（x1）＞0，所以f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）．
所以f（x）在R上为增函数．