Question

设函数f（x）=a²x²（a＞0）．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由图象的平移可知y=φ（x）的解析式；
（2）解法一不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个⇔（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故解得，
解法二：（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，即a＞1，可得，解得．
【解析】
（1）∵函数f（x）=a2x2（a＞0），将函数y=f（x）图象向右平移一个单位可得到函数y=φ（x）的图象，
∴y=φ（x）的解析式为：y=φ（x）=a2（x-1）2，由完全平方非负的特点可知其值域为：[0，+∞）
（2）解法一：不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个⇔（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，
故1-a2＜0．令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a2＜0（a＞0）
所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），另一个零点一定在区间[-3，-2）
故解得
解法二：（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，即a＞1
（1-a2）x2-2x+1=[（1-a）x-1][（1+a）-1]＞0
所以，又因为
所以，解得