Question

如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）求证：PQ∥平面ABCD．

Answer

（1）连接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，由平面ADEF⊥平面ABCD，AE⊥AD，AE⊂平面ADEF，知AE⊥平面ABCD，由此能够证明BD⊥CE．
（2）取AE的中点G，连接PG，QG，在△ABE中，BP=PE，AG=GE，故PG∥BA，由PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，知PG∥平面ABCD，由此能够证明PQ∥平面ABCD．
证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，AE⊥AD，AE⊂平面ADEF，
∴AE⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，
∴AE⊥BD，
∵AC∩AE=A，∴BD⊥平面AEC，
∴BD⊥CE．
（2）取AE的中点G，连接PG，QG，
在△ABE中，BP=PE，AG=GE，∴PG∥BA，
∵PG⊄平面ABCD，BA⊂平面ABCD，
∴PG∥平面ABCD，
在梯形ADEF中，DQ=QF，AG=GE，
∴GQ∥AD，同理，GQ∥平面ABCD，
∵PG∩GQ=G，PG⊂平面PGQ，GQ⊂PQG，
∴平面PQG∥平面ABCD，
∵PQ⊂平面PQG，
∴PQ∥平面ABCD．