Question

已知△ABC的三边a，b，c和其面积S满足S=c²-（a-b）²且a+b=2，则S的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由S=ab•sinC=c2-（a-b）2 以及余弦定理可得cosC=-，sinC=．再由基本不等式求得S的最大值．
【解析】
由题意可得 S=ab•sinC=c2-（a-b）2=c2-a2-b2+2ab． 又由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC，
由此可得 sinC=4（1-cosC），两边平方后化简可得 （1-cosC）（15+17cosC）=0，∴cosC=-，或 cosC=1 （舍去）．
∴sinC=．
再由a+b≥2 ，可得ab≤1，当且仅当a=b时，取等号．
∴S=ab•sinC=ab≤，即S的最大值为 ．
故选D．