Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₂-1）³+2012（a₂-1）=1，（a₂₀₁₁-1）³+2012（a₂₀₁₁-1）=-1则下列结论正确的是（ ）
A．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＜a₂
B．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁＞a₂
C．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≤a₂
D．S₂₀₁₂=2012，a₂₀₁₁≥a₂

Answer

根据等式，构造函数，求导函数，可知函数是单调递增的，再利用函数的单调性即等差数列的求和公式，即可得到结论．
【解析】
根据（a2-1）3+2012（a2-1）=1，（a2011-1）3+2012（a2011-1）=-1，
构造函数f（x）=x3+x，由于函数f（x）=x3+x是奇函数，由条件有f（a2-1）=1，f（a2011-1）=-1．
求导函数可得：f′（x）=3x2+1＞0，所以函数f（x）=x3+x是单调递增的，而f（1）=2＞1=f（a2-1），即a2-1＜1，解得a2＜2．
∵f（a2-1）=1，f（a2011-1）=-1，∴a2-1＞a2011-1，a2-1=-（a2011-1），∴a2＞0＞a2011，a2+a2011=2，
∴S2012=×2012=2012．
又S2011=S2012-a2012=2012-（2-a2+d）=2010+a1＞a1+a2=S2 ．
综上知，S2012=2012，且a2011＜a2 ，
故选A．