Question

设a∈R，函数 f （x）=x²+2a|x-1|，x∈R．
（1）讨论函数f （x）的奇偶性；
（2）求函数f （x）的最小值．

Answer

（1）第一问考查函数的奇偶性，当a=0时，利用f（-x）=f（x）在R上恒成立，即可求得函数是偶函数；当a≠0时，用特殊值法判断函数不是奇函数又不是偶函数；
（2）第二问是求最值的题目，先判断函数的单调性再求最值：分别求出分段函数的对称轴，再利用对a进行分类讨论：a≥1时； a＜1时，通过函数的单调性，求出函数的最小值．
【解析】
∵f （x）=x2+2 a|x-1|，x∈R．
（1）当a=0时，f （x）=x2，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．…（2分）
因为f（1）=1，f（-1）=1+4a≠f（1），即a≠0时函数不是偶函数；…（3分）
当a≠-时f（-1）=1+4a≠-f（1），函数不是奇函数；当a=-时，
f（x）=x2-|x-1|，f（2）=3，f（-2）=1，f（-2）≠-f（2），所以函数不是奇函数．…（5分）
综上，当a=0时，f （x）=x2，函数是偶函数；当a≠0时函数非奇非偶函数．
（2）f （x）==…（7分）
1° a≥1时，x≥1时，f （x）≥x2≥1=f （1）⇒f （x）min=1…（8分）
x＜1时，对称轴 x=a＞1⇒f （x） 在 （-∞，1）上为减函数⇒f （x）＞f （1）=1
综上，a≥1时，f （x）min=1…（10分）
2° a＜1时，若 x＜1，f （x）min=f （a）=-a2+2a=2a-a2…（11分）
而 x≥1时，f （x）min≥-a2-2a＞-a2＞2a-a2…（12分）
∴a＜1时，f （x）min=2a-a2
∴f （x）min=…（13分）．