Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁垂直平面ABC，三角形ABC为等边三角形，D为AB中点．
（1）求证：AB⊥C₁D；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁．
（3）如果AB=4cm，AA₁=cm，求异面直线C₁D与AA₁所成角的大小．

Answer

（1）证明AB⊥C1D，只需证明AB⊥平面CC1D，利用线面垂直的判定定理，即可证得；
（2）证明AC1∥平面CDB1，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可以证明；
（3）先说明∠CC1D为异面直线C1D与AA1所成角，再在△CC1D中，利用正切函数，即可证得．
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，D为AB中点
∴CD⊥AB
∵CC1垂直平面ABC
∴CC1⊥AB
∵CD∩CC1=C
∴AB⊥平面CC1D
∵C1D⊂平面CC1D
∴AB⊥C1D；
（2）证明：连接AC1，BC1，BC1∩B1C=O，连接OD，则OD∥AC1，
∵OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1；
（3）【解析】
∵CC1∥AA1，
∴∠CC1D为异面直线C1D与AA1所成角
在△CC1D中，CD=AB=2cm，CC1=AA1=cm
∴tan∠CC1D=
∴异面直线C1D与AA1所成角的大小为．